Правильно: поедешь. См. учебнике Е. И. Литневской, раздел Глагол.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Тире в таких предложениях ставится при наличии паузы.
Во втором случае слово ведь явно играет роль союза, связывающего части сложного предложения. В первом случае оно, возможно, тоже выполняет функцию союза (вообще говоря, союз может связывать предложения в составе текста), но для точного ответа не хватает предшествующего контекста.
Повтор частицы в условном наклонении обычно уместен.
Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).
Выбор варианта зависит от смысловых особенностей высказывания, а точнее, от того, о ком именно — должностном лице или конкретном человеке — идет речь в цитируемом тексте и в доверенности.
Запятая ставится (в конце придаточного предложения).
Верная пунктуация: Ты что же, в искусстве разбираешься? Ты что, навещал ее?
