Обособление оборота с производным (непервообразным) предлогом с учетом факультативно.
Кавычки-елочки предпочтительнее кавычек-лапок, потому что именно они считаются основным способом выделения печатного текста на русском языке. См. материал «В чем разница между кавычками разного рисунка?» в разделе «Письмовник» на нашем портале.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Вариант сходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи. По хлеб – неправильно.
Оба варианта верны. Устойчивое выражение: при закрытых дверях — в присутствии только заинтересованных и должностных лиц, без посторонней публики.
Корректно с тире на месте пропущенной грамматической основы: За жизнь каждого — как за свою!
