Нужно склонять. И написать букву Н: инфотейНмент.
Глагол закончить в значении "довести до конца, завершить" синонимичен окончить, правильно: закончить работу и окончить работу.
В значении "пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо" употребляется только глагол окончить: окончить школу, вуз, университет, курсы и т. п.
Запятая не нужна: Помогите чем можете.
Дефис ставится по общему правилу. См. также: 122">http://www.gramota.ru/class/coach/tbgramota/45122
Эти формы равноправны.
Пунктуация верна.
Сочетание раскрыть проблему лучше заменить. Например: поставить, выдвинуть, рассмотреть, изложить, изучить, исследовать, анализировать проблему, коснуться какой-либо проблемы.
Правильно: мини-холодильник. Мини- - это первая часть сложных слов, присоединяемая к последующей части дефисом.
На месте "беглых" гласных, действительно, располагался Ъ или Ь. Но не "болгарский".
Дополнительные знаки препинания не нужны.
