Правильно: Во-первых, потому, что... Наличие перед составным подчинительным союзом вводного слова — одно из условий его расчленения (постановки запятой между частями союза).

В этих предложениях запятая не нужна, так как союз и связывает два однородных члена. 

Однородные члены предложения, соединенные одиночными соединительными или разделительными союзами (и, да  в знач. «и»; или, либо ) не разделяются запятой: Теплоход встал поперек реки и дал течению развернуть его вниз, по ходу (Расп.); День да ночь – сутки прочь (посл.); Поддержит он Уздечкина или не поддержит? (Пан.).

Вообще говоря, знаки препинания в предложении не требуются: Затем хочу пойти на ипподром потренироваться. Однако обстоятельство цели потренироваться действительно можно оформить как добавочное сообщение, то есть как присоединительную конструкцию, в случае, если автор хочет акцентировать внимание не столько на нем, сколько на обстоятельстве места на ипподром. Поскольку конструкция не имеет специальных вводящих слов, ее нужно отделить с помощью тире (см. параграф 85 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Затем хочу пойти на ипподром — потренироваться. 

В указанном месте предложения возможна и запятая — в этом случае между обстоятельствами на ипподром и потренироваться возникают отношения однородности, то есть они образуют открытый перечислительный ряд: Затем хочу пойти на ипподром, потренироваться...; подразумевается, что тренировка будет не на ипподроме.

Водитель и автоводитель - это разные лексемы (разные слова).

Корректно: как помочь своему близкому, находящемуся под домашним арестом.

В словаре-справочнике «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (М., 1959) зафиксировано: мышление и допустимо мышление. Два варианта ударения даны и в «Толковом словаре русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (1935–1940), и в словаре Даля (а это уже XIX век). Иными словами, вариант мышление (с ударением на ы), который сейчас у многих ассоциируется исключительно с М. С. Горбачёвым, последовательно признавался нормативным и в XIX веке, и в XX. Ничего не изменилось и в XXI веке: в современных словарях можно увидеть те же рекомендации. В «Большом орфоэпическом словаре русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) указано: мышление и допустимо мышление.

Таким образом, суждение о том, что вариант мышление вошел в словари из-за Михаила Сергеевича, не соответствует действительности. Хотя нет сомнений, что распространенность этого ударения в последние годы XX века связана именно с тем, что такой вариант предпочитал Горбачёв.

Второе не не нужно, иначе смысл предложения будет очень странным.

Существительное внимание имеет отвлеченное значение, а такие существительные, если зависят от переходного глагола с отрицанием, употребляются в форме родительного падежа. Подробно вопрос выбора между формами родительного и винительного падежа существительного при переходном глаголе с отрицанием изложен в «Письмовнике».