Нет - частица, способная выступать в роли сказуемого. Это слово также можно назвать предикативом.
В значении "уроки не кончаются" - конца урокам нет.
В обоих предложениях тире не требуется.
Словарями это слово пока что не фиксируется. Возможно, мастер по коррекции бровей?
Правильнее называть такие слова конверсивами.
В таких случаях нет — частица.
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).
Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.
Ответ на Ваш вопрос (в том виде, в каком Вы его сформулировали) может занять не один десяток страниц. В каждой стране свои традиции и правила обращения к другому человеку.
