Правила следующие.

Прилагательные, образованные от существительных, пишущихся через дефис, тоже пишутся через дефис. Исключения: москворецкий, Китайгородский.

Существительные, образованные от пишущихся через дефис собственных имен (состоящих из двух частей с начальными прописными буквами), пишутся слитно.

Существительные, образованные от пишущихся через дефис нарицательных существительных, тоже пишутся через дефис. Исключения: зюйдвестка, пингпонгист, сальтоморталист, шахермахерство, яхтклубовец.

Имена прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы: шекспировские трагедии, гоголевские персонажи, тургеневские «Записки охотника».

С прописной буквы такие прилагательные пишутся, если они начинают собой собственные наименования (Гоголевский бульвар), в том числе наименования, имеющие значение «имени того-то», «памяти того-то» (Тургеневские чтения).

Написание географических названий в разных языках часто определяется традицией (существующей для данного языка) и вполне может не соответствовать написанию и/или произношению, принятому в той стране, где находится данный географический объект. Это нормально, так бывает во всех языках. По-русски название этого грузинского города принято писать Сигнахи, такой вариант фиксируют словари русского языка.

Вы задаете проблемный вопрос. Специальных правил для написания и произношения названий брендов нет. В словарях собственных имен некоторые названия фиксируются, см., например, ресурс «Проверка слова».

Языковая логика подсказывает, что названия должны подчиняться правилам. Однако отступления от правил в их форме не редкость. Иногда это сознательные приемы, языковая игра. Встречаются и банальные ошибки.

Мужские и женские имена, оканчивающиеся на -и, -ы, не склоняются. Женские имена, оканчивающиеся на согласный, преимущественно не склоняются (исключение составляют имя Любовь, а также женские личные имена библейского происхождения Агарь, Рахиль, Руфь, Суламифь, Эсфирь, Юдифь). 

Таким образом, из приведенных Вами имен склоняются только Насирилла и Абдырайым. В дательном падеже правильно: Насирилле, Абдырайыму.

Учитель неправ. Морфологическая категория времени свойственна не всем формам глагола. Из спрягаемых форм этой категорией обладают только формы изъявительного наклонения. Повелительное и сослагательное наклонение форм времени не имеют. См.: Русская грамматика. М., 1980. Т. 1. § 1490.

Обратите внимание: дай(те) – форма повелительного наклонения глагола дать, от глагола давать образуется форма повелительного наклонения давай(те).

«Русская грамматика» (М., 1980) относит это слово к категории Singularia tantum. Однако современные авторитетные словари не запрещают употребление форм мн. числа у существительного инструктаж, и в письменной речи они встречаются. Например: Всей первой половиной дня, тремя инструктажами и увиденным на аэродроме он был подготовлен к чему-то важному, ответственному, чрезвычайному. В. Богомолов, Момент истины.

В "Словаре собственных имен русского языка" Ф. Л. Агеенко (М., 2010) приведен только вариант Теннесси́, тогда как в "Словаре трудностей русского языка для работников СМИ" М. А. Штудинера (М., 2016) указано ударение Те́ннесси и Теннесси́, причем первый вариант признается основным (он расположен на первом месте и выделен цветом).