Слово пиар зафиксировано словарями русского языка, поэтому нет необходимости писать PR латиницей. Лучше кириллицей: черный пиар.
Слово несовместимы можно написать раздельно, если подразумевается противопоставление (окончательное решение принимает автор). Мы рекомендуем писать слитно.
Предпочтительно: Я Вам пишу. Вариант писать к кому-либо устаревший («Я к вам пишу – чего же боле?»).
Подробные рекомендации см. здесь: Как писать ВЫ и ВАШ – с прописной или со строчной буквы?
Оба слова следует писать с маленькой буквы: ювелирный дом, модный дом, парфюмерный дом, модный дом «Название».
Сочетания Костромской край и Костромская земля следует писать с большой буквы. Подробнее см. в вопросе 286574.
Слово мода следует писать с маленькой буквы. Сокращение vs также пишется маленькими буквами: Индивидуальность vs мода.
Нет оснований писать это слово с большой буквы. По поводу сторис и сториз нормативной рекомендации нет.
Вы правы, такое написание противоречит правилам. Слово русский в этом названии следует писать с маленькой буквы.
Следует писать раздельно (в значении "точно так же"): Я продолжаю жить так же нерадиво и беспечно.
