Правильно: квадроцикл и квадрицикл.

Первый автомобиль, созданный Генри Фордом, назывался квадрицикл (от англ. bicycle "велосипед"; название связано с тем, что квадрицикл передвигался на четырех велосипедных колесах).

Современные мотовездеходы имеют название квадроцикл.

Вместе с тем не выделяются как вводные, кроме того являются вводными.

Нет, эти слова не являются родственными, они восходят в конечном итоге к двум разным древним индоевропейским основам.

Вождь пришло в русский язык из старославянского, где оно восходит к праславянскому корню *ved – отсюда же и глагол вести (вождь – тот, кто ведет за собой). Этот корень, в свою очередь, восходит к праиндоевропейской основе, поэтому наше слово вести  родственно словам других индоевропейских языков, например, латышскому vest, древнепрусскому west с тем же значением ('вести').

Слова вожделенный, вожделение, вожделеть также пришли из старославянского языка, но восходят к другой основе. Вожделеть образовано с помощью приставки въз- от желети (во втором слоге был «ять») 'желать'. А слова желети, желати восходят к праиндоевропейской основе со значением 'желать, хотеть' и также имеют соответствия в других индоевропейских языках.

Оснований для постановки запятой нет.

Первая запятая не нужна, две следующих нужно поставить для обособления вводного.

Союз вместе с тем не требует выделения знаками препинания. Союзные сочетания а вместе с тем, но вместе с тем, как правило, соединяют простые предложения в составе сложного и перед ними ставится запятая или другой знак препинания.

Выделяются знаками препинания части сложных предложений, присоединяемые союзом "вместе с тем". После союза запятая не требуется.

Правильно без запятой, вместе с тем не является вводным.

В связи с тем что – сложный союз, запятая перед что ставится при его интонационном распадении на две части.