Верно раздельное написание: постоянно хранящейся.

Вторые кавычки не нужны: "Сегодня мы познакомимся с историей написания романа "Война и мир", -- сказал учитель.

Ударение падает на второй слог (см. окно «Искать на Грамоте»).

См. в http://spravka.gramota.ru/surnames.html [работе Н. А. Еськовой]. Мужская фамилия Довгань (как фамилия, оканчивающая на согласный) склоняется, женская -- нет. Однако, если носитель настаивает на несклоняемости фамилии, следует употреблять ее вопреки правилам.

Корректно: Театр Вахтангова, Театр Маяковского, Театр на Малой Бронной.

См. в «Словаре трудностей».

Если Вы имеете в виду междометие чего (возглас «Чего?»), то такое употребление -- просторечие, его лучше не употреблять, заменить на литературное что. Местоимение что может употребляться в форме родительного падежа (чего) при таких глаголах, как ждать, хотеть (Чего ты ждешь? Я знаю, чего хочу), при глаголах с отрицанием (Чего я не знаю? Он видел то, чего я не видела).

Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Если это наречие, то корень -- постоянн, суффикс -- о (согласно словарю А. Н. Тихонова).

См. ответ № 225677 .