Вновь – еще раз, снова (не впервые).

Да, запятые поставлены правильно.

Верно: в День города.

Такое употребление возможно как шутка, как языковая игра. 

Вам следует воспользоваться поиском по сайту и ввести туда ключевые слова из вашего вопроса. 

Давайте начнем с двоеточия после слов автора. Правило звучит так: если в словах автора, находящихся внутри прямой речи, имеются два глагола со значением высказывания, из которых один относится к первой части прямой речи, а другой — ко второй, то после слов автора ставятся двоеточие и тире, причем первое слово второй части пишется с прописной буквы.

В Вашем примере в словах автора только один глагол со значением высказывания (прервала), который относится к первой части прямой речи. А значит, предложение оформляется по обычным правилам: Нет, подожди, — женщина прервала его и, протянув руку, улыбнулась. — Мне нужен всего один.

В данном случае, на наш взгляд, рассматривать улыбнулась как глагол со значением высказывания можно с большой натяжкой. Но в этом случае оформление будет следующим: Нет, подожди, — женщина прервала его и, протянув руку, улыбнулась: — Мне нужен всего один.

Что касается отдельного предложения, то обычно оно располагается после прямой речи и, главное, не содержит глагола со значением высказывания, относящегося к прямой речи.

Перед нами, скорее всего, сложное предложение, обе части которого неполны.

В первой части нельзя видеть номинативное предложение, потому что оно ничего не описывает (стандартная функция номинативных предложений — именно описание): оно характеризует неназванный предмет — например, чье-то сочинение. Однако однозначно восстановить предложение до полного не позволяет отсутствие контекста. Это могут быть, например, такие варианты: (1) Данное сочинение — набор слов; (2) В данном сочинении я вижу только набор слов; (3) В данном сочинении есть только набор слов.

Вторая часть может интерпретироваться как безличное предложение: [В чем-то (например, в данном сочинении)] нет никакого смысла. Но она же может интерпретироваться, скажем, и как продолжение первой части в варианте (2): В данном сочинении я вижу только набор слов — и [не вижу] никакого смысла.

Однозначного ответа на поставленный Вами вопрос быть не может, потому что неизвестен контекст, вследствие чего невозможно установить, как именно должны быть восполнены опущенные члены предложений.

Если подразумевается вариант (2), то запятая не нужна, но можно поставить тире. Вижу и не вижу можно рассматривать как однородные сказуемые, можно видеть здесь и сложносочиненное предложение, но запятая и в нем не нужна, так как есть общий второстепенный член В данном сочинении.

Если подразумевается вариант (1) с продолжением Данное сочинение — набор слов, и в нем нет никакого смысла, запятая нужна.

Если подразумевается вариант (3) с продолжением В данном сочинении есть только набор и нет никакого смысла, то запятая отменяется наличием общего второстепенного члена В данном сочинении.

Как видите, без знания контекста ваш спор решить нельзя.