Корректное написание: с 2 по 4 января.
В данном случае сочетание по гипотезе вводное (указывает на источник сообщения) и выделяется запятыми.
Приведенные Вами фразеологизмы не указаны во фразеологических словарях, так как их толкование можно посмотреть в любом толковом словаре.
На нашем портале есть «Справочник по фразеологии».
Возможны оба варианта.
Двоеточие не требуется.
Подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, выделяются кавычками, но перед ними двоеточие не ставится.
Верно: история со взломом.
Оба варианта возможны, выбрать следует исходя из контекста.
Название пока не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Орфографическая логика побуждает к слитному написанию, так как в русском языке название не членится на структурно-смысловые единицы.
Верно без предлога: богата чем.
