Вопрос: "Ищете вуз?".
Оба варианта возможны. Слово доступ в определенных случаях употребляется и с предлогом в, например: доступ в музей.
После слова конкурса лучше поставить тире, так как распространенное приложение стоит в конце предложения.
Фамилия Мисуна склоняется так же, как существительные первого склонения (например, луна): Мисуны, Мисуне, Мисуну, Мисуной, о Мисуне. Таким образом, в дательном падеже верно: Мисуне.
См. ответ на вопрос № 286658.
Так говорить нельзя. Верно: имя для нее. Формы дательного, предложного падежа: к ней, о ней.
Пунктуация верна.
Да, сочетания корректны.
Правильно: Европейский союз.
Верно: власти предержащие, склоняются оба слова: властей предержащих, властям предержащим и т. д. Подробно об этом читайте в статье Ю. Л. Воротникова.