Орфографически верно написание названия минометного орудия катюша без кавычек, со строчной буквы.
Если имеется в виду город в Республике Коми, то верно: Микунь, Микуни, Микуни, Микунь, Микунью, о Микуни.
Корректно: Глумиться над этими символами – значит прежде всего терять национальную идентичность, уважение к корням.
Верно: вклад в укрепление.
Не может писаться как слитно, так и отдельно. Раздельное написание следует выбрать, если в предложении подразумевается противопоставление.
Верно: фотовидеошкола.
Формально все верно. Но к смыслу продраться трудно.
Обычно в тексте на русском языке названия, написанные латиницей, в кавычки не заключаются, например: Мы посмотрели мюзикл Chicago.
Во всех приведенных Вами примерах верно написание строчными.
Существуют оба слова: агитация и ажитация. Их значение Вы можете уточнить в толковом словаре на нашем портале.