1. Перед нами пример возникающего в диалоге феномена отраженной речи, к которой относится не только цитирование реплики собеседника, но и интеграция фрагментов высказывания собеседника в собственное высказывание. Примеры второго типа — а в данном случае именно такой пример, поскольку в интегрированном высказывании другое лицо (второе), нежели в исходной реплике (первое), — не описаны в справочниках по пунктуации. По своей структуре рассматриваемая реплика представляет собой бессоюзное сложное предложение, первая часть которого содержит глагол с незамещенной синтаксической позицией. В таких предложениях эталонным знаком является двоеточие, например: Я тебе определённо скажу: у тебя есть талант (Ф.). Однако интонационный рисунок высказывания с отраженной речью несколько другой, поэтому рекомендуем поставить между частями тире (оно и в целом допускается правилами как замена двоеточия, см. примечание 2 к параграфу 129 справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что рассматриваемое предложение вопросительное (представляет собой удивленный или возмущенный вопрос), поэтому нужно поставить соответствующий знак конца предложения — вопросительный знак либо сочетание вопросительного и восклицательного знаков, например:
— Я не хочу идти с тобой.
— Что значит — ты не хочешь идти со мной?!

2. Ряд вопросов, комментирующих содержание высказывания, вполне уместно представить в виде вставной конструкции, но лучше оформить ее в скобках. Поскольку это часть одного предложения, вопросы начинаются со строчной буквы: В тот день, когда она находилась дома (а точно ли находилась? кто-то проверял? она может представить доказательства?), всё и произошло. Обратите внимание, что со словом доказательства лучше использовать глагол представить.

Об электронном кошельке корректно: на свой кошелек (ср.: на свой счет).

Оба слова могут быть использованы.

Такое слово есть и употребляется. Склоняются обе части: плавок-шортов, плавкам-шортам и т. д.

Действительно, нужно выбрать какое-то одно слово.

Орфографическим нормам соответствует первый вариант, однако в учредительных документах может быть закреплен и второй вариант.

Если это не стихи, то заглавная буква в начале второй строки, которая продолжает предложение, неуместна.

Такое употребление некорректно, предложение следует перестроить.

Нужно тире, т. к. неизменяемое приложение 2016 присоединяется к сочетанию слов: Всемирный спортивный марш – 2016 в Санкт-Петербурге.

Возможно только с определением: через некоторое, определенное время.