Такое бывает: новые слова первое время могут испытывать колебания в написании, что отражается словарями. Общее правило для подобных случаев: главный словарь, по которому мы определяем написание слова, – орфографический. Правильно: рэпер (как в орфографическом словаре). 

Стилистически нейтрально и общеупотребительно: лебедем белым. Лебедь – существительное мужского рода. Только в народно-поэтической речи возможно употребление этого слова как существительного женского рода. Например, у А. Блока: За тобою живая ладья, Словно белая лебедь, плыла...

Знак слеш используется в так называемых косолинейных сокращениях, у которых вместо опущенной части словосочетания или сложного слова ставится косая черта (в/с — высший сорт,  Ростов н/Д — Ростов-на-Дону, х/б — хлопчатобумажный).

Принятый в русском языке стандартный порядок слов: сперва определение, потом определяемое слово. Не наоборот! Изменение порядка слов возможно, если преследуется некая цель - например, упорядочить названия по общему родовому слову: шоссе такое-то, такое-то и такое-то.

Это относительно новое для нашего языка слово пока не зафиксировано нормативными орфографическими словарями, поэтому корректными следует считать как дефисное (эго-документы), так и слитное (эгодокументы) его написание. Заметим, что дефисный вариант встречается в печати несколько чаще. 

Прилагательное помолвочный отмечено в издании «Новое в русской лексике. Словарные материалы — 1983» (М., 1987). В качестве иллюстрации приведено словосочетание помолвочное кольцо. В современной юридической литературе употребляются также выражения помолвочные отношения, помолвочное соглашение.

Корректно: следующего, 1963 года. Здесь 1963 выступает в роли пояснительного определения к слову следующий, и поэтому между этими определениями требуется запятая (ср. пример из справочника Д. Э. Розенталя «Пунктуация»: Вскоре мы вступим в новое, XXI столетие).

В разговорной речи подобные конструкции не редкость. Однако литературной нормой они пока не стали, и рекомендовать их к употреблению нельзя. О конструкции Можно, пожалуйста... подробно рассказала О. И. Северская в статье «Можно, пожалуйста, чувствовать себя новой?».

Нет, неверно. В интересующей Вас конструкции существительное заезд может употребляться в значении "приезд в санаторий, в дом отдыха и т. п. новой группы отдыхающих". Корректно, например, так: Группу, заезжающую 21 июля, сопровождает морской биолог.