Да, конечно. Прощение – прощенье, рождение – рожденье и т. п. – орфографические варианты: формы на -ие стилистически нейтральны; формы на -ье употребимы в разговорной и в поэтической речи.

Правильно: Европейский союз.

Правильно: в шкафУ, на шкафУ.

Предпочтительно склонение без выпадения гласного (Винничека, Винничеку).

Такая проверка неправильна по двум причинам. Написание букв на месте безударных гласных проверяется теми словами и формами, где в той же значимой части слова (в том же корне, приставке, суффиксе, окончании) проверяемый гласный находится под ударением. В слове чистить, во-первых, представлен совсем другой суффикс, во-вторых, он безударный. Чтобы правильно писать слова чистенький, старенький, слабенький и т. п., надо просто запомнить, что в современном литературном языке суффикса -иньк- нет, есть суффиксы -еньк- и -оньк-.

Запятая нужна. Названия должностей (т. е. приложения), стоящие после имени собственного, обособляются.

В разговорной речи данные названия склоняются, но в официальных бумагах лучше добавлять родовое слово, например: магазин «ИКЕА», в магазине «ИКЕА».

Говорить о правильности с точки зрения русского языка не приходится, поскольку такого  способа образования названий в русском языке нет, это ярко выраженный англицизм, ср.: Royal Group, Rover Group. Нет в русском языке и самого слова груп (групп): это не производное от группа, а калька с английского group. Добавим, что такое название неизбежно будет перекликаться с вполне русским словосочетанием Иванов груб (ибо груб произносится как [груп]) и вряд ли вызовет положительные ассоциации. Так что яхту лучше назвать по-другому.

Верно и то, и другое, это разные подходы к морфемному разбору. При разборе слова по составу необходимо различать синхронный (т. е. современный) состав и исторический (этимологический) состав. Исторически в словах ненавидеть, негодовать, небрежный  не – приставка (когда-то в языке были слова навидеть, годовать и т. д.). Однако сейчас, в современном русском языке приставка в этих словах уже не выделяется (ведь слитное написание этих слов как раз и обусловлено тем, что без не они не употребляются), не считается частью корня.

Умница – слово общего рода, т. е. оно может употребляться и как существительное мужского рода, и как существительное женского рода: ты такой умница и ты такая умница.