Правильно только щекотать.
Допустимы оба варианта: "выпить чай" и "выпить чаю".
Сочетание громаднейший дом корректно, ошибки нет. Ср.: ...Это лишь оболочка здания, это его наружные стены; а там, внутри, уж настоящий дом, громаднейший дом: он покрыт этим чугунно-хрустальным зданием, как футляром... Н. Чернышевский, Что делать?
Сочетание был командирован не вызывает возражений.
См. значения этих слов в словарях, размещенных на нашем сайте.
Мы бы не склоняли...
Запятые нужны: Вика, как всегда, закатила глаза, а он ничего...
Глаголы типа использовать, которые могут употребляться как глаголы совершенного вида и несовершенного вида, называются двувидовыми. Их довольно много, хотя точные цифры назвать затруднительно.
Вот еще некоторые примеры: обещать, исследовать, наследовать, использовать, исповедовать, напутствовать, содействовать, атаковать, командировать, госпитализировать, организовать, казнить, ранить, молвить, велеть.
