В этом предложении ни — повторяющийся союз, соединяющий однородные члены. В качестве союза ни используется в нескольких случаях. Во-первых, в отрицательных предложениях (т. е. при отрицательном сказуемом, в том числе подразумеваемом): Они не получали ни газет, ни журналов, ни книг; Ни огня, ни чёрной хаты, / Глушь и снег... Во-вторых, при соединении отрицательных предложений: Ни собака нигде не залает, ни ворота не скрипнут. В-третьих, в составе устойчивых оборотов типа ни роду ни племени, ни красы ни радости, ни мал ни велик, ни пава ни ворона.

В предложении о Федоте отрицательного сказуемого нет. Более того, формально есть противопоставление не..., а..., в котором пишется именно не. Но в данном случае ни представляется элементом стилизации под народную речь: ни богат ни беден – как ни мал ни велик. Такое понимание подсказывает и ритм стиха, делящий однородные члены на пары. Правда, пунктуационно эта стилизация обычно не поддерживается. В фразеологизмах запятая между компонентами не ставится. В доступных нам текстах сказки запятые стоят между всеми компонентами ряда. 

Верно: содержать что – не содержать чего / что. Слова, зависящие от глагольной формы с отрицанием, могут стоять в форме как родительного, так и винительного падежа, если в зависимости от глагола без отрицания они употребляются в винительном падеже.

Грамматическая структура приложения, построенного при помощи выражения "по имени", при изменении главного слова не изменяется: Енотик по имени Ров, Енотику по имени Ров и т. п.

Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко, Люсечиль – существительное мужского рода. Правильно: в Люсечиле.

Правильно: (нет) ботиночек.

Да, верно.

Нужно второе тире: Я надел эту никчёмную вещь — прогнивший ботинок — и вышел на улицу.

Деепричастие ставя образовано корректно, оно довольно широко употребляется.

Корректно: Использованы материалы Ольги Ивановой и Дмитрия Лазаренко.