Мы согласны с Википедией:

При употреблении названия в русскоязычных текстах пока нет %28%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29">устоявшегося перевода. Часто используют один из трёх вариантов:

• оригинальное написание латиницей;
• транскрипция «Биткойн», соответствующая правилам %D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%86%D0%B8%D1%8F">англо-русской практической транскрипции, используемой для передачи английских собственных имён, а также других лексических единиц, непосредственно заимствуемых из английского языка (например, терминов), для которых не существует исторически сложившейся (традиционной) передачи на русский язык; применён в заявлении %D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8">Банка России;
• транслитерация «Биткоин», соответствующая правилам %D0%B0%D0%BB%D1%84%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%D0%B9">транслитерации русского алфавита латиницей, применённым в обратном порядке; используется в русской локализации программы и на официальном сайте.

Верно без мягкого знака: патриаршего, патриаршему. Теперь разберемся, почему так.

Прилагательное патриарший в начальной форме выглядит как притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос "чей?" и оканчивающееся на -ий (-jeго), ср.: лисий - лисьего, пастуший - пастушьего, черепаший - черепашьего, птичий - птичьего, человечий - человечьего, монаший - монашьего, помещичий - помещичьего, скомороший - скоморошьего и т. д. Такие слова склоняются по особому (местоименному) склонению, в них пишется разделительный мягкий знак. 

Однако слова монарший и патриарший склоняются не по местоименному, а по адъективному склонению, то есть как прилагательные хороший (хорошего), святейший (святейшего), усопший (усопшего), больший (большего), августейший (августейшего) и т. п. В таких словах разделительный мягкий знак не пишется.

По этой причине правильно: патриаршее (не патриаршье) благословение, патриаршая (не патриаршья) ризница, Патриаршие (не Патриаршьи) пруды. И, соответственно: монаршее, монаршая, монаршие.

"Русская грамматика" (под ред. Н. Ю. Шведовой, М., 1980) указывает: "Притяжательные прилагательные орлий (устар.), отчий, монарший и патриарший, основа которых оканчивается на группу согласных (-ий – флексия им. п. ед. ч. муж. р.), изменяются по мягкой разновидности адъективного склонения. Образование от притяжат. прил. монарший, патриарший падежных форм по типу притяжат. прил. соболий, пастуший, волчий для современного языка ненормативно". При этом "у писателей XIX в. встречается образование форм косвенных падежей притяжательных прилагательных женского рода с шипящей согласной перед |j| (казачья, разбойничья) по образцу изменения местоимен. прил. наш, ваш (см. ниже) без |j| в конце основы: Ты не издохнешь от удара Казачей сабли (Пушк.); Не для разбойничей потехи Так рано съехались адехи На двор Гасуба старика (Пушк.); Парень был Ванюха ражий, Рослый человек, – Не поддайся силе вражей, Жил бы долгий век (Некр.) (для современного языка нормативны формы казачьей, разбойничьей, вражьей)".

Итак, различается написание слов: монашьего - патриаршего; монашье - патриаршее; монашья - патриаршая; монашьи - патриаршие.

См.:

• А. А. Зализняк. Грамматический словарь русского языка. 5-е изд., М., 2008.
• Русская грамматика / Под ред. Н. Ю. Шведовой. М., 1980.

Если определение постпозитивно (даже при наличии разделительного союза между определяемыми словами), то оно ставится в форме множественного числа. Таким образом, верно: Органом по сертификации может стать любое юридическое лицо или индивидуальный предприниматель, признающие и выполняющие ее правила.

У памятного Вам правила есть несколько примечаний:

После ж, ш, ч, щ, ц пишутся буквы а, у (и не пишутся я, ю),

напр.: жаль, Жанна, межа; шар, лапша; час, свеча, молчащий; площадка, плаща; цапля, отца; жуткий, скажу; шум, Шура, большущий; чувство, молчу; щука, прощу; цугом, отцу.

Заимствование амбушюр входит в число исключений, упомянутых в Примечании 1. 

Вероятно, речь о фонетическом разборе? Буква е обозначает здесь два звука – [йэ].

Правильно: Гусь-Хрустальненский районный суд.

Нельзя. Й и И – это разные буквы, а мой и мои – разные словоформы.

Да, именно так. Однако не от всех имен на -ий образуются вариативные формы отчеств.

Корректно: 1. В г. Усть-Джегута. 2. В г. Мирном. 3. В г. Коврове. 4. В г. Кольчугино. 5. В г. Озеры. 6. В г. Александрове. 7. В г. Орле. 8. В г. Юрьеве-Польском. 9. В г. Гусь-Хрустальном.
О склонении географических названий см. в «Письмовнике».