Правильно через дефис: рады-радёшеньки.
Поставленная Вами запятая нужна.
Правильно: в Новом Саде. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской (М., 2008) указывает, что если существительное употреблено в сочетании с прилагательным, то в нейтральном стиле письменной и устной речи выбирается форма на -е, ср.: в Хабаровском крае, в телевизионном мосте, в головном мозге, в длительном отпуске.
Это существительное мужского рода. Можно сослаться, например, на «Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд. М., 2012).
Слово "конечно" обособляется.
Правильно: в детском саду.
Предложение построено неправильно. Рад кому-либо за что-либо – по-русски так не говорят.
Предлагаем почитать о частях речи в учебнике Е. И. Литневской.
Слово счёт-справка относится к мужскому роду.
