Сочетание не зафиксировано академическим орфографическим словарем, первая часть в самостоятельном употреблении и в составе сочетаний похожей модели пишется только через е. См. данные словаря.
Правильно через дефис: релакс-музыка.
Сочетание холодная война пишется без кавычек.
Следует писать с дефисом (контр-я) по аналогии с зафиксированным сверх-я.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
Аббревиатурные названия телеканалов пишут без кавычек.
В корне этих слов мы наблюдаем остатки древнего чередования гласных, которое когда-то было показателем глагольного вида. Ср.: глотка – проглатывать, смотр – просматривать, поздно – опаздывать.
С точки зрения орфографии слова с подобными корнями требуют примечания к правилу о проверке безударных гласных: нельзя проверять безударные о и а в корне словами с суффиксом -ива-(-ыва-). Например, глотать проверяем словом глотка, но не проглатывать, смотреть – словом смотр, но не осматривать, опоздать – словом поздно, но не опаздывать.
Это сочетание предлога и существительного.
Неясно, какое слово имеется в виду. Что обозначает звездочка?