В значении 'время от времени; иногда' употребляется устойчивое сочетание нет-нет (да) и. Запятая между его частями не ставится: Они нет-нет и публикуют наши статьи.
В разговорной речи такая фраза возможна, однако в строгих формах устной и письменной речи – нет.
Кавычки не нужны.
На месте вопросительного знака никакой знак препинания не нужен.
Вы имеете в виду программу проверки правописания, встроенную в Microsoft Word? Всецело доверять ей не стоит. Программа хороша для выявления описок, опечаток, которые трудно заметить при чтении текста с экрана, но, если речь идет о пунктуации или грамматике, особо полагаться на нее не следует.
Возможны разные написания, выбор зависит от контекста. В приведенном предложении две заглавные буквы стилистически оправданны, они подчеркивают особый высокий смысл.
Корректно: В ответ на Ваше обращение, поступившее на официальный сайт города, сообщаем...
Знаки препинания стоят верно.
