Да, строгая литературная норма предполагает склонение названий такого типа: из Гаджиева, к Гаджиеву, с Гаджиевом, в Гаджиеве.
Корректно употреблять это название в несклоняемой форме.
Название поселка склоняется, например: из Сельца, в Сельце. Но в сочетании с родовым словом название лучше не склонять: в поселке Сельцо.
Корректно: петров крест.
Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины».
Корректно дефисное написание: по-сырому, по-мокрому. Кавычки не нужны.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
В названии муниципального образования - Яр-Салинское.
Причастный оборот, расположенный после определяемого слова, однозначно требует постановки знака препинания.
