Правильно в родительном падеже: Бокши, Шульги.
Верно: исполненная яда.
Оба варианта управления корректны.
Кавычки не нужны: сухой кашель, влажный кашель.
Правильная форма: ка́пель. В подобных случаях трудные формы мн. числа имен существительных проверяются по словарю.
Не зная контекста, невозможно дать точный ответ. Вопрос может быть адресован и одному человеку, который рассказывает о себе и еще о ком-то.
Знаки препинания расставлены верно.
Учитель неправ. Морфологическая категория времени свойственна не всем формам глагола. Из спрягаемых форм этой категорией обладают только формы изъявительного наклонения. Повелительное и сослагательное наклонение форм времени не имеют. См.: Русская грамматика. М., 1980. Т. 1. § 1490.
Обратите внимание: дай(те) – форма повелительного наклонения глагола дать, от глагола давать образуется форма повелительного наклонения давай(те).