Выбор написания зависит от контекста и авторского замысла. Если стоит задача передать на письме бытовую, непринужденную речь, такое написание (строчными и без кавычек) уместно. Если контекст выходит за рамки обиходно-разговорного, понадобятся кавычки и прописные буквы.

Ни один из вариантов не является ошибочным (двоеточие, однако, не требуется ни в первом случае, ни во втором). Если внимание акцентируется не на самой  возможности задать вопрос, а на адресе сайта, второй вариант выглядит более логичным.

Предпочтительно использовать кавычки разного рисунка, но если по техническим причинам это невозможно, то не возбраняется использовать и кавычки одного рисунка (но при этом следует помнить, что кавычки одного рисунка рядом не повторяются: задача «Работа по программе «Восстановление работы ног»).

Это вопрос не о русском языке, его нужно задать культурологам. Мы можем только рекомендовать книгу «Системы личных имен у народов мира» (М., 1989). Возможно, в ней Вы найдете ответ на свой вопрос. А книгу можно найти на просторах интернета.  

Мы не выполняем домашние задания, но можем подсказать, что для определения синтаксической роли фразеологизма нужно помнить: фразеологизм — это один член предложения, к нему нужно задать вопрос от слова, к которому он относится, например: бежала (как?) сломя голову, фразеологизм является обстоятельством. 

Союз как имеет здесь значение «в качестве», а значит, оборот с этим союзом не обособляется; поскольку однородные подлежащие выражены инфинитивами, между подлежащим и сказуемым ставится тире: Ваша задача как врача — не только лечить болезни, но и предотвращать их.

Оба варианта корректны. Предложение можно рассматривать как простое, с подлежащим собрать и сказуемым задача (между ними необходимо тире), а можно — как бессоюзное сложное, первая часть которого представляет собой номинативное предложение (поскольку во второй части содержится объяснение, перед ней нужно двоеточие). 

Рекомендуем Вам обратиться с этим вопросом в Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Вопросы об идентификации имен и фамилий можно задать по телефону (495) 695-26-60 При необходимости Институт выдает справки об идентификации имен (при предъявлении документов, в которых имеется вариативное написание).

Вы верно определили, что задать вопрос — аналитический глагол, то есть такое словосочетание, которое служит единой номинацией действия (ср. также вести наступление, осуществить проверку и т.п.). Такой аналитический глагол в ваших примерах является простым глагольным сказуемым, сущ. вопрос и мест. который дополнениями не являются.

Из такого построения предложения не ясно, кем обозначена главная задача — митрополитом Иоанном или кем-то другим. Сооветственно, невозможно дать определенный ответ о необходимости указанной запятой. Если «действующие лица» двух частей предложения разные, то запятая нужна, если одно и то же — не нужна.