Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Дополнительные знаки препинания не требуются.
Запятая не нужна.
Верно: на Южном Урале.
Определительный оборот, стоящий после неопределенного местоимения (в данном случае – что-то), обычно не обособляется, так как образует одно целое с предшествующим местоимением. Но если смысловая связь между местоимением и следующим за ним определением менее тесная и при чтении после местоимения делается пауза, то обособление возможно. Окончательное решение – за автором текста.
Корректно: полный кавалер ордена Славы.
В разговорной конструкции предлоги конкурируют. Можно выбрать любой.
Запятая нужна: обособляется деепричастный оборот.
Корректно: до верха. Но: наполнить банку доверху.
Нужно выбрать один из вариантов в соответствии с контекстом.
