Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название).
Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.
При слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Рай, семья Шарма.
Корректно: замуж так и не вышла или замуж (ни разу, никогда) не выходила.
Слово досочка входит в состав литературного языка. Слово досточка включено в «Словарь русских народных говоров» и, напротив, не включено в толковые словари литературного языка или имеет здесь помету «просторечное», что позволяет оценивать его как характерное для нелитературных форм речи. Исключением, однако, является «Большой универсальный словарь русского языка» под ред. В. В. Морковкина, где слово досточка дано с пометой «разговорное». Полагаем тем не менее, что в литературном языке этого слова следует избегать.
Верно с двоеточием: Она не понимала: как так?
Это тире при именительном темы (местоименное слово так тесно связывает с ним основное предложение).
Если после прямой речи предложение продолжается, ставится тире, потому что прямая речь оканчивается вопросительным знаком: Он говорит: «Так нет никаких теорий! Жизнь не просчитаешь. Ты понимаешь?» — и ведь он бесконечно прав.
В слове подушечка корень подушеч- и суффикс -к-. В корне чередование -к- // -еч-.
Мы отвечаем на вопросы по русскому языку. А этот вопрос Вы можете задать нашим украинским коллегам.