Правильно с прописной: Нижегородчина.
Правильно: Худилайненом.
Заимствованные фамилии на -ов, -ин, которые принадлежат иностранцам, в форме творительного падежа имеют окончание -ом (как существительные второго школьного склонения, например стол, столом): Дарвином, Грином, Чаплином. Омонимичные русские фамилии имеют окончание -ым в форме творительного падежа: с Чаплиным (от диалектного слова чапля 'цапля').
А вот фамилия на -ен может иметь только окончание -ом в творительном падеже.
Засим пишется слитно, если употребляется в значении "после этого, затем, далее". За сим пишется в два слова, если их можно заменить словами за этим (например, человеком).
Верное наращение: 3-м.
Эти варианты равноправны.
Нормативно: слезши.
"Какой размер..." - совсем уж неудачно, по-канцелярски. Первый вариант лучше.
Литературный (т. е. нормативный) вариант: живу на Украине.
Правильно: стрижка каре.
Родительный падеж уместен.
