Управление намек о ком-либо, чем-либо отмечено в справочниках как устаревшее. Правильно: намек на коррупцию.
Возможны варианты. Обстоятельственные обороты «несмотря на + существительное» обычно выделяются знаками препинания (запятыми). Но при тесной связи оборота со сказуемым (если смысл предложения: работы не просто продолжатся, а продолжатся именно вопреки трудностям) запятая не ставится.
Верно: в городе Цетине (основной вариант), в городе Цетинье (дополнительный вариант). Но: на реке Цетине.
Предложение построено некорректно. Возможны, например, варианты: На занятии понадобится пластилин и Для занятия понадобится пластилин.
Запятая не нужна, так как перед нами однородные предложения, относящиеся к союзу когда: Когда у тебя нет времени на сон и ты засыпаешь прямо на ходу, [не стоит садиться за руль].
Верно: опоздать на поезд. В разговорной речи - опоздать к поезду (т. е. к отправлению поезда).
Правильно: на шестистах миллионах языков (но: на шестистах языках).
Выражение свойственно обиходной разговорной речи; ср. также обороты операция на глаза / ноги / колени / вены и т. д.
