Верно: с вдетыми нитками.

Предлог со употребляется:
1) перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами;
2) перед формами родительного и творительного падежа слов лев, лёд, лён, лоб, мох, ров, рот: схватка со львом, виски со льдом;
3) со словами мной, мною;
4) перед формами слов вошь, весь, всякий, всяческий, вторник, второе, второй, многие, многое: со всяким встречным, со многими людьми;
5) в устойчивых сочетаниях: со вкусом (делать что-либо); со вниманием (в знач. 'внимательно': выслушать со вниманием); со временем (в знач. 'в будущем': со временем всё наладится); со двора (уйти); со дня на день (в знач. 'скоро'), со дня (в знач. начальной точки отсчета времени: со дня свадьбы прошло два месяца), со дна (достать).

С переносом ударения предлог со употребляется в сочетаниях: со свету (сжить), со смеху (помереть), со ста (сдача).

Перед формами слова вчерашний могут употребляться оба предлога — с и со: с вчерашнего дня и со вчерашнего дня.

Необходимости использовать кавычки нет, выражение достаточно устойчиво и распространено в русском языке.

Мужскую фамилию Лемешонок можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Лемешонка, Лемешонку и т. д.) и с сохранением гласного (Лемешонока, Лемешоноку и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного).

Грамматически правилен второй вариант. Если речь идет о договоре между учреждением и И. И. Ивановым, то вторая запятая не нужна, или, если предложение продолжается, она должна стоять после И. И.: Договор, заключенный учреждением с ИП Ивановым И. И., был передан...

Правильно: борьба со СПИДом.

Правильно строчными: кабмин, кабинет министров, как указано в «Академосе». О причинах разного написания в «Академосе» и в электронной версии «Русского орфографического словаря» на нашем портале см. в ответе на вопрос 321097.

Правильно: Мах, -а: число́ Ма́ха, у́гол Ма́ха.   

Верно: со львом и со Львом.

Правильно: со смертью Ричарда Львиное Сердце.