Использовать кавычки не требуется.
В современном русском языке в слове надежда приставка уже не выделяется. «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова предлагает такой вариант разбора: надежд-а. Исторически – да, это слово образовано от nadeti 'положить, поставить' – префиксального производного от *deti > деть 'класть, ставить'. Надежда буквально – 'то, на что полагаются'. Но это, подчеркиваем, исторический состав слова; при синхронном (современном) морфемном анализе выделение приставки на- и суффикса -жд- нецелесообразно.
Да, корректно писать с большой буквы.
Правильно в ед. ч.: использование моторного топлива. Если нужно подчеркнуть множественность, то стоит добавить: сортов, видов моторного топлива.
Предложение построено верно. Слова советская власть пишутся с маленькой буквы.
Второй вариант предпочтителен.
Нет, запятая во фразеологизме не нужна.