Оба варианта (записать в тетрадь и записать в тетради) корректны.
В значении "после чего-либо": по приезде, по прибытии.
Согласно словарю «Русское словесное ударение», верно: по три (рассчитаться по три, всем взять по три рубля), но: по три-четыре рубля, по три или четырерубля, по три рубля пятьдесят копеек.
В значении «после вылета» – по вылете.
Выделять эти слова запятыми не требуется.
Все варианты возможны.
Ваше наблюдение верное: предложное сочетание тренер по (чему-либо) включает существительное, обозначающее вид спортивной деятельности. Очевидно, что выражение тренер по вратарям к такому ряду номинаций не относится. По сравнению с ним, словосочетание тренер вратарей и в смысловом, и в грамматическом отношении совершенно корректно. Однако это словосочетание не передает ясно и отчетливо ту идею, какая объединяет сочетания с предлогом по, — идею специализации тренеров, их профессионального деления с учетом конкретной практики. При необходимости обозначить специализацию (важный аспект в профессиональной коммуникации) выручают нестандартные обороты, такие как тренер по вратарям (ср. также в бизнес-среде тренер по персоналу).
