Грамматически верно: верить обещаниям чего? - светлого будущего.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...
Мерить, мерю, мерит (предпочтительно) и меряю, меряет (допустимо).
Запятая нужна: Она не знала, верить ему или нет.
В значении "начать мерить температуру градусником" - поставить градусник.
Грамматически некорректна часть предложения и уверенным верить в себя.
О таких случаях речь идет в справочниках, например в параграфе 97 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: «Скобками выделяются вставные конструкции, в качестве которых используются знаки восклицательный или вопросительный, передающие отношение автора к высказанной мысли или ее оценку – удивление, недоумение, одобрение, сомнение, иронию и др.: За свою жизнь отец с ребятишками окольцевал более пятидесяти тысяч (!) разных птиц (газ.); Если приверженцы гомеопатии верят, что децилионная часть одной пылинки ревеня или белладонны может произвести переворот в теле человеческом, почему же не поверить, что одна кроха философии (?) может зародить идеи в голове (??!!) (Белин.)».
Проверяя ударение, верить нужно орфоэпическим словарям. Они рекомендуют говорить сортамент.
Нужно верить бумажной (более современной) версии. В электронном издании мы исправим это разночтение.
Правильно: Расскажи, как он тебе дорог и что ты ценишь в нем больше всего.
