Правильно: Факультету ЛА 50 лет.
Запятая ставится.
Запятая не нужна, однако сочетание "задумывается на просьбу" некорректно.
Нет, слова по традиции не требуют обособления.
Возможны варианты. Обстоятельственные обороты «несмотря на + существительное» обычно выделяются знаками препинания (запятыми). Но при тесной связи оборота со сказуемым (если смысл предложения: работы не просто продолжатся, а продолжатся именно вопреки трудностям) запятая не ставится.
Частица тоже свидетельствует о том, что союз и в данном случае вводит присоединительную конструкцию (см. параграф 84 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), перед которой нужна запятая: Это не было похоже на деловую встречу, и на встречу родственников тоже.
Запятая не требуется, союз либо соединяет инфинитивы, зависящие от слова можно.