Правильно: под подпись или под расписку.
Первый вариант по структуре предложения более логичен.
См. в Словаре трудностей.
Правильно: под Николаевом (если речь о городе Николаев).
Правильно раздельное написание: полученное под отчет имущество.
Оба варианта нехороши. Лучше перестроить всю фразу (и по возможности обойтись без слова заточенность).
В приведенных Вами вопросах речь идет о похожих, но все же разных ситуациях.
1. Предложения со схемой А: «П?», где прямая речь — вопросительное предложение. Приведем примеры.
Смотрю вслед ему и думаю:«Зачем живут такие люди?»
Только один раз мы встречаемся с Лукьян Лукьянычем (я ещё его не знал тогда), он и говорит: «За кем вы здесь волочитесь?»
2. Предложение имеет ту же схему А: «П?», но прямая речь, представляющая собой вопросительное предложение, содержит название, заканчивающееся вопросительным знаком.
Он меня спросил: «Ты читал роман "Что делать?"»
Если бы название было включено в прямую речь — повествовательное предложение, то точка бы стояла.
Он сказал мне: «Я не читал роман "Что делать?"».
Да, предложение написано верно.
