Правильно писать через Е. Пушкин использовал другое слово, а именно хиреть - "становиться хилым".

Союз между тем не выделяется запятыми подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

По всем примерам, связанным с обособлением деепричастий, см. соответствующую главу "Правил русской орфографии и пунктуации".

Вариативно написание кратких форм от востребованный ‘нужный, своевременный’ и ограниченный ‘имеющий небольшие познания, узкий кругозор, узкие интересы’ при отсутствии зависимых слов, так как контекст часто не дает возможности провести четкую границу между употреблениями этих форм в качестве прилагательных либо причастий. Например: его возможности ограниченны — его возможности ограничены (потенциально возможно дополнение чем-либо); эти специалисты востребованны — эти специалисты востребованы (потенциально возможны зависимые слова кем-либо, где-либо, при каких условиях).

При передаче на письме разговорного стиля речи корректно написание со строчной буквы без кавычек: айфон.

Слово амбассадор сравнительно недавно «шагнуло» за рамки сферы имен собственных (ср. название отеля, театра, марки автомобиля, кофе) и перешло в разряд имен нарицательных, став обозначением лица, представляющего некую компанию, бренд, марку, или «посла» в совершенно определенном маркетинговом смысле. В новой лексической роли слово амбассадор вполне предсказуемо употребляется во фразах типа амбассадором известной марки стал известный актер, художник является амбассадором производителя красок, амбассадором отрасли считается компания Х, публике были представлены амбассадоры проекта и т. д. Поскольку из вопроса не ясно, о каком именно амбассадоре петербургской медицины идет речь, то надеемся, что эти пояснения помогут Вам самостоятельно подобрать хорошее наименование.

Нет, нельзя, так как перенос не должен помешать читающему правильно воспринимать графический комплекс, который представляет собой адрес сайта. С графическим критерием связаны, например, также запреты переносить аббревиатуры, в которых используются прописные буквы (ЮНЕСКО, ФИФА, РосНИИ); графические сокращения (ин-т, чл.-корр., об/мин); слова, сочетающие в написании буквы и цифры (37-й, 56-летие, ТУ-134); разбивать переносом инициалы и фамилию (неправильно: А. / Пушкин или А.С. / Пушкин). 

Вы написали окончания правильно. Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом, например: Львов – Львовом, Канев – Каневом, Крюково – Крюковом, Камышин – Камышином, Марьино – Марьином, Голицыно – Голицыном.

В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Пушкин (фамилия) – Пушкиным и Пушкин (город) – Пушкином; Александров (фамилия) – Александровым и Александров (город) – Александровом.

Существительное современье (в значении "современность", "настоящее время") изредка употребляется в художественных и публицистических текстах, например: Да, Пушкин стар для современья, Но Пушкин Пушкински велик [К. И. Чуковский. Эгофутуристы (1922)]; Он почти каждый день бывает в книжной лавке писателей в Леонтьевском, познакомился с Бердяевым и считает Ходасевича «самым глубоким поэтом современья». [С. Ф. Буданцев. Японская дуэль (1926)].

Что касается ударения в прилагательных современный и безвременный, то в русском языке ударение свободное и разноместное.

В этом предложении, воспроизводящем разговорную конструкцию, пропущен глагол речи (или какой-то заменяющий его глагол), так что союз и здесь соединяет, по сути, два однородных сказуемых, а следовательно, запятая не нужна. Сравним: Иногда ты видишь по-настоящему жуткие вещи и такой говоришь (фыркаешь): «Пфф… ну что это?» Знаков после кавычек не требуется, так как внутри кавычек уже есть знак конца предложения – вопросительный.