Корректно: в соответствии с чем-либо (действовать в соответствии с приказом).
Перед словами, начинающимися с согласного [щ], употребляется предлог со: коробка со щенками.
Правильно: уравнение с одним неизвестным. Слово неизвестное в значении 'искомая величина' – существительное среднего рода (при употреблении в переносном значении, не связанном с математикой, род слова неизвестное не меняется).
Сокращенные наименования министерств пишутся с большой буквы: Минрегион, Минздрав, Минфин и т. п.
С нее станется – неодобр. от нее можно ожидать всего (обычно о плохом поступке).
Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Рекомендации справочников (см., например, справочник Д. Э. Розенталя): с целью установить – в целях установления.
Если имеется в виду дом, в котором жил Пушкин, то правильно с маленькой: дом Пушкина.
