Уменьшительное от имени Илья - Илюша. В семейном обиходе возможны, впрочем, любые уменьшительные формы имени, в том числе Ильюша.
Кавычки не нужны.
Мужские и женские фамилии на -ых, -их не склоняются. Верно: разговор с Седых.
Согласно рекомендациям справочника А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой, знаки математических действий и соотношений отбивают от чисел. Таким образом, верно: 4 × 100 метров.
Верно: радиомодели.
Верно: прибор включён.
Р. мн. от стрия - стрий.
Возможно слитное или раздельное написание по условиям контекста. Раздельно - при подчеркивании отрицания, а также (предпочтительно) при употреблении в роли сказуемого.
Верен первый вариант, с мягким знаком.
Нарицательное наименование пишется строчными, собственное - с прописных букв. Пожалуйста, уточните, как употребляется это наименование в Вашем случае.
