На выходных – разговорно-просторечный вариант, допустимый в непринужденной речи. Общеупотребительно и нормативно: в выходные.

«Объяснительный русский орфографический словарь-справочник» (Ин-т русского языка им. В. В. Виноградова РАН; Е. В. Бешенкова и др. М., 2015) сообщает о сочетании (в)глубь следующее:

вглубь 1) пишется слитно как наречие от существительного (глубь), принадлежащего к закрытому ряду слов с простран­ственным или временным значением (распростра­ниться вглубь и вширь, проблему не решили, а загнали вглубь); 2) закрепившееся слитное написа­ние предлога (зверь забился вглубь норы). ◊ Не путать с сочетанием предлога и существительного, управляющего другим существительным, напр.: в глубь океана; в глубь веков; в глубь души; вникать в глубь, в суть проблемы; в глубь времён; вышел из распахнутых в глубь дома дверей. Поскольку в современном языке дан­ный предлог находится еще в стадии формирования, то разница между сочетанием с предлогом вглубь дома и сочетанием существительных в глубь океана трудно уловима, поэтому в данных сочетаниях вполне возможно вариативное написание. (Статья приведена с некоторыми сокращениями.)

В предложении Настоящий геолог проникает (в)глубь Земли слово глубь вполне соответствует значению, зафиксированному в «Большом толковом словаре русского языка» (под ред. С. А. Кузнецова), – ‘место или пространство, расположенное на большом расстоянии от поверхности земли или воды’. Поэтому в данном случае более обоснованным представляется раздельное написание.

Следует писать без кавычек.

Аваньянц – мужчина или женщина? Если мужчина, правильно:  в лице генерального директора Аваньянца, если женщина – в лице генерального директора Аваньянц.

Вне контекста смысл предложения неясен, поэтому ответить на вопрос затруднительно.

Верно: не полагается делать что-либо (НСВ).

Правильно: в Севастополе и Симферополе (и так понятно, что это города). Если всё-таки нужно употребить родовое слово, можно написать в городах Севастополе и Симферополе, в гг. Севастополе и Симферополе.

Предпочтительно слитное написание.

См. в «Письмовнике».