Можно поставить запятую или тире.
Да, прилагательное мандаринный есть в современном русском литературном языке и зафиксировано словарями. Его можно использовать.
Обособление не требуется.
Вариант На фото была та самая врач допустим. Но лучше: На фото была та самая женщина-врач.
На первый взгляд, сочетание двое Олимпийских игр соответствует правилу, т. к. название Олимпийские игры в единственном числе не употребляется. Однако у слова игры единственное число существует, поэтому аналогия с сочетанием двое суток не вполне корректна и правильность выражения двое Олимпийских игр вызывает сомнения. Предпочтительно перестроить фразу.
Можно, смотря что имеется в виду.
Тире надо поставить: Лучший способ скрыть правду – это сказать ее в шутку.
Такая возможность не предусмотрена.
Рыбу можно выпотрошить, почистить. Применительно к рыбе глагол освежевать не употребляется.
В сочетании 31 декабря легко восстановить пропущенные слова: тридцать первое (число) (месяца) декабря. Поэтому – средний род (по слову число): неэффективное 31 декабря.
