Правильно так, как в «Русском орфографическом словаре»: госавтоинспектора́.
Слово не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правилам соответствует слитное написание.
В "Русском орфографическом словаре" отмечено слово "файер". Соответственно, корректно написание "файер-шоу".
Корректно: бабки-Полина гора, тети-Машин дом. Второе сочетание зафиксировано в орфографическом словаре.
Слово не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правилам соответствует слитное написание.
Слово медучреждение зафиксировано в академическом орфографическом словаре. См. ресурс «Проверка слова».
Слово не фиксируется в академическом орфографическом словаре. Корректно написание через дефис.
Прилагательное майяский зафиксировано в «Русском орфографическом словаре», поэтому такое сочетание допустимо.
В "Русском орфографическом словаре": Медисон-сквер-гарден. Так что правило не вполне работоспособное.