Правильно: по факсу.
Предпочтителен вариант с предлогом ПО.
См. здесь.
Выражение растекаться мыслию по древу - из "Слова о полку Игореве". Существует версия, что слово мысль должно читаться как мысь - в псковских говорах белка. Следовательно, поэтический сказ уподобляется быстрому бегу белки по дереву. Но этой версии противоречит то, что слово мысь в древнерусских памятниках не встречается. Поэтому скорее всего слово мысль выступает в своем прямом значении, и выражение растекаться мыслию по древу следует понимать как "растекаться творческим воображением".
Слова "действительно" и "прежде всего" могут выступать как вводные. Слова "по крайней мере" обычно не являются вводными.
Основные школьные орфограммы и упражнения Вы найдете в "Учебнике ГРАМОТЫ" на нашем портале.
В устойчивых сочетаниях с предлогом в (во) существительные имеют окончание винительного падежа -ие: в завершение чего-л., в заключение чего-л. и т. д.
См. Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
Попробуйте выполнить Ваше домашнее задание самостоятельно.
Корректно: скучаю по вас (допустимо: по вам).
