Корректно: в технике мозаики.
Грамматически верно: диогеновой, но этот оборот обычно употребляется в форме бочка Диогена.
Второй вариант предпочтителен.
Правильно: в городе Елизово. Если слова город нет, возможны два варианта: в Елизове (предпочтительно) и в Елизово (допустимо).
Кавычки уместны, особенно при употреблении этого разговорного слова в стилистически нейтральном контексте.
Склоняются обе части: в счетах-спецификациях.
Правильно: родился в д. Быстрице. Географическое название склоняется в сочетании со словом деревня, если род обоих слов совпадает (т. е. если название женского рода).
Правильно: в ближайшее время (но: в ближайшем будущем).
См. «Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и более поздние издания). В справочнике указано, что «недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова».
Оба варианта правильны.
