Запятую принято ставить.
Да, верно: фонд "Новые имена".
Деепричастие ставя образовано корректно, оно довольно широко употребляется.
Вы расставили знаки верно.
Нужно иметь в виду, что в составных вьетнамских, корейских, бирманских, камбоджийских, китайских и др. восточных именах и фамилиях склоняется только последний компонент. В русской словоизменительной системе такие имена и фамилии являются явными экзотизмами, и склоняемость только последнего компонента объясняется здесь тем, что для русского языкового восприятия трудно различить, какие компоненты здесь являются именем, а какие фамилией.
Слово Минпромторг употребляется как существительное мужского рода. На родовую принадлежность влияет внешний облик этого слова: оно «похоже» на обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения. По опорному слову министерство в данном случае мы род не определяем. Ср.: вуз открылся (хотя заведение), ТАСС уполномочен заявить (хотя агентство).
Запятая не нужна, поскольку слова "как дома" представляют собой именную часть сказуемого.
Как название исторического события - с большой буквы.
Верно: одни наушники. В разговорной речи допустимо: пара наушников.
Корректно: петергофский Большой дворец, Большой дворец Петергофа.
