Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Такое употребление возможно.
Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
Да, следует.
См. ответ 282774.
Верно: Многие компании могут не знать, куда идет отгружаемая ими продукция.
Если слово Запад в данном случае имеет значение "страны Западной Европы", то с прописной.
См. в «Письмовнике».
Запятой отделяется определительный оборот, расположенный после определяемого слова.
Поставленная Вами запятая нужна.
