В современном русском разговорном языке такая конструкция (наряду с похожей можно (мне), пожалуйста...), действительно, распространена и вполне допустима.
Предпочтительно слитное написание: были непохожи.
Правильно: не прекращающийся ни на минуту дождь. Слова ни на минуту усиливают отрицание, что способствует раздельному написанию.
Возможны оба варианта. Подробнее о выборе падежа при отрицании см. в «Письмовнике».
Слитное написание корректно: Несмотря на неотпускающую лёгкую головную боль...
Запятую на месте скобок ставить не нужно.