Подлежащее, присоединяемое сочетанием а затем и, связано со сказуемым, что проявляется, например, в форме числа этого сказуемого. Так, в одном из приведенных Вами примеров сказуемое одобрили явно относится не просто к первому подлежащему кабинет министров, а к соединению двух подлежащих — кабинет министров, а затем и парламент; запятая после подлежащего парламент нарушает синтаксическую связь между ним и сказуемым.

В параграфе 12.7 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя есть правило: «После однородного члена предложения, присоединяемого союзом а также или а то и, запятая не ставится, т. е. он не обособляется: Всеобщая грамотность населения, а также широкая пропаганда научных знаний должны способствовать неуклонному росту культуры в нашей стране; Бывает трудно, а то и невозможно сразу разобраться в подобной ситуации». Союзное соединение а затем и выражает те же отношения факультативного присоединения, что и а также и а то и, поэтому правило можно применить и здесь.

А почему, на Ваш взгляд, невозможна запятая?

Корректно: вейп. Не в начале корня после согласного буква э пишется лишь в очень немногих словах (рэп, мэр, мэтр, сэр, пэр и некоторых других). Это именно исключения, расширение списка слов с э не соответствовало бы закономерностям русской орфографии.

Что касается второго слова, здесь сложно дать однозначную рекомендацию, т. к. единого правила нет. Одни новые иноязычные заимствования закрепляются в слитном написании, другие – в дефисном. Надо подождать, пока слово освоится языком. Пока можно сказать, что сложные существительные с первой частью, самостоятельно употребляющейся, и второй, самостоятельно не употребляющейся, чаще пишутся слитно, хотя из этого правила есть много исключений. Поэтому предпочтительный вариант: боксмод.

Можно перефразировать: Что ожидают клиенты от нового продукта?

В ответе на вопрос № 204162 допущена досадная ошибка. Конечно же, речь там идет о раздельном написании. Ответ исправлен.

В этом случае применяется правило о постановке тире в сложносочиненном предложении, вторая часть которого заключает в себе значение результата, следствия. См. параграф 114 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Правильно: узнала о Ларисе Долиной; Милочка; IQ-тест.

При отрицании возможен как родительный, так и винительный падеж. В данном случае предпочтителен родительный падеж: не мог сдержать раздражения. См. подробнее в «Письмовнике».

Глагол-сказуемое нужно поставить в форму второго лица: Если вы или ваши родители испытываете... В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано: «Если среди однородных подлежащих имеются личные местоимения, то при согласовании в лице первому лицу отдается предпочтение перед вторым и третьим, а второму лицу — перед третьим, например: Потом, с позволения Мими, я или Володя отправляемся в карету... (Л. Толстой); И я и ты добьемся своего; И ты и он можете приступить к работе завтра».