В современном языке оба слова содержат корень (балабол-, баламут-) и окончание. В этимологическом отношении слово баламут является результатом сложения части *bala-, обнаруживаемой в словах балагурить, балакать звукоподражательного происхождения (или производных от баять), и корня *mǫt- (ср. мутить, смута, смущение и др.). Слово балабол связано с балаболить, которое из звукоподражательного *bolboliti (ср. *golgoliti > диал. гологолить, *tortoriti > тараторить). У восточных славян *bolboliti должно было дать *болоболить, но глагол, видимо, изменил огласовку под влиянием глаголов баять или балакать.
Скорее: какая ветка (определение).
Это определение: рубашка (какая?) навыпуск.
Корректно: Галия, Галии, Галие, Галию, Галиёй.
В значении "зарабатывать, делая массаж" верно: зарабатывать массажем.
Какая именно падежная форма этих слов Вас интересует?
Корректно: на Горный Алтай, в район Горного Алтая.
Первая часть сложных слов гала- присоединяется дефисом. Правильно: гала-балет.
