Кавычки нужны: поиск своего «я».
Кавычки не нужны.
Если местоимение Вы употребляется как вежливое обращение к одному лицу, глагол все равно ставится в форму множественного числа. Ср. обычный вопрос: В случае принятия данного закона Вы бы поддержали его?
Слово реклама можно заключить в кавычки или выделить курсивом: при употреблении термина «реклама», при употреблении термина реклама.
Нет, кавычки не нужны.
Корректно: соус барбекю.
Правильно: Не «Бахчисарайский...» ли «...фонтан» вы читаете?
Нет, слово заяц в значении «безбилетник» не требуется заключать в кавычки. Это значение давно уже не является новым, непривычным.
Да, слово золотой можно заключить в кавычки, как и словосочетание целиком.
Постановка кавычек не требуется, но лучше написать агент Икс (во избежание прочтения читателем как "агент Ха").