Корректны оба варианта.
Здесь верно: заведующую.
Верен первый вариант (если имеется в виду, что именно департамент, а не директор осуществляет общее руководство подразделением).
Фамилия склоняется по образцу прилагательного: Хоружая (ср. свежая), Хоружей (ср. свежей).
Если слово написание используется в форме множественного числа, то глагол в сказуемом тоже ставится в форме множественного числа: Не будут ошибкой и другие написания.
Возможны оба варианта.
ЛИКВИДАЦИЯ, -и; ж.
1.
Прекращение деятельности в результате упразднения чего-л. (предприятия, учреждения и т.п.). Л. треста. Завод закрылся в связи с ликвидацией.
2.
Уничтожение, прекращение существования кого-, чего-л. Л. неграмотности. Л. преступности.
Ликвидирование - от ликвидировать.
ЛИКВИДИРОВАТЬ, -рую, -руешь; св. и нсв. что.
Произвести - производить ликвидацию чего-л. Л. неграмотность. Л. химическое оружие. Л. группу фальшивомонетчиков. // Разг.
Физически уничтожать, пресекая чью-л. деятельность. Л. бандита в перестрелке. < Ликвидироваться, -руется; страд. Ликвидирование, -я; ср.
Запятая поставлена правильно.
"В сковороде..." - корректно.
